Вещественные числа как пропускные способности

Наконец, прежде чем двигаться дальше, зададимся вопросом, насколько критичным было предположение о целочисленности пропускных способностей (речь не идет о (7.4), (7.5) и (7.14), где оно было очевидно необходимо).

Для начала стоит заметить, что если разрешить использование рациональных чисел в качестве пропускных способностей, ситуация не станет более общей, потому что мы можем определить наименьшее общее кратное всех пропускных способностей и умножить их все на это значение, чтобы получить эквивалентную задачу с целочисленными пропускными способностями.

А если пропускные способности будут задаваться вещественными числами? Где в доказательстве мы использовали тот факт, что пропускные способности являются целыми числами?

Да, использовали, и он был весьма критичен: утверждение (7.2) использовалось для доказательства того, что в (7.4) величина потока увеличивается по крайней мере на 1 при каждом шаге.

С вещественными пропускными способностями следует учесть, что величина потока может возрастать со все более малыми приращениями; следовательно, пропадает гарантия конечности количества итераций цикла.

И эта проблема оказывается очень серьезной, потому что при аномальном выборе увеличивающего пути алгоритм Форда–Фалкерсона с вещественными пропускными способностями может выполняться бесконечно.

Однако можно доказать, что теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе (7.12) остается истинной даже в том случае, если пропускные способности являются вещественными числами.

Утверждение (7.9) предполагало лишь то, что поток f не имеет пути s–t в остаточном графе Gf, чтобы сделать вывод о существовании разреза s–t с равной величиной. Очевидно, для любого потока f с максимальной величиной остаточный граф не содержит пути s–t; в противном случае величину потока можно было бы увеличить.

Следовательно, чтобы доказать (7.12) для случая вещественных пропускных способностей, достаточно показать, что в каждой потоковой сети существует максимальный поток.

Конечно, при любом практическом применении потоков пропускные способности будут целыми или вещественными числами.

Однако проблема аномального выбора увеличивающего пути может проявиться даже с целыми пропускными способностями: из-за нее алгоритм Форда–Фалкерсона может потребовать огромного количества итераций.

В следующем разделе показано, как выбрать увеличивающие пути так, чтобы избежать потенциально нежелательного поведения алгоритма.